Formulacion de raciones
Empleo de la programación lineal en la formulación de raciones al mínimo costo para la suplementación de rumiantes a pastoreo
Publicado: 25 de octubre de 2010
Por: Dra. Valeria Reinoso y Dr. Claudio Soto, Artigas, Uruguay.
RESUMEN
Se propone un modelo de programación lineal alternativo de fácil implementación e interpretación para formular raciones al mínimo costo que contempla la sustitución forraje - suplemento. El modelo básico consta de 5 restricciones y 2+n variables, donde n es el número de suplementos. En el modelo el consumo de materia seca de pastura sin suplementación y la tasa de sustitución son valores estáticos mientras que el consumo de suplemento y de pastura con suplementación son variables a determinar. Se ejemplifica la utilidad del modelo frente a los modelos tradicionales.
Palabras y frases claves: programación lineal, formulación de raciones al mínimo costo, tasa de sustitución, suplementación a pastoreo.
INTRODUCCION
Los sistemas ganaderos pastoriles basan su alimentación en el aporte que realizan las pasturas, las que se encuentran sujetas a variaciones climáticas y estacionales (22, 10).
Cuando se decide incrementar la producción o cuando el forraje escasea entra en juego la suplementación para cubrir la brecha entre la demanda y la oferta alimenticia.
La suplementación energética a rumiantes en pastoreo actúa como un complemento de la pastura y tiene la particularidad que generalmente la ingestión de suplemento modifica en mayor o menor grado el consumo de pastura (4, 29, 14, 26, 9, 22) en una proporción denominada tasa de sustitución (TS) (29, 14, 26, 9).
Los modelos tradicionales de programación lineal para formular raciones al mínimo costo (cuadro 1) no consideran la sustitución forraje - concentrado, ya que están diseñados generalmente para formular dietas completas (5, 6, 2, 8, 13, 24, 25, 30) y no suplementos para animales en pastoreo, aunque se han desarrollado modelos muy ingeniosos que contemplan muchos de los hechos biológicos de la realidad (19, 6, 5, 2, 8, 24, 25, 30). La inclusión de la TS en el cálculo puede arrojar resultados muy diferentes al de los planteos tradicionales.
Cuadro 1: Modelo clásico básico de programación lineal para formular raciones al mínimo costo.
Cuadro 1: Modelo clásico básico de programación lineal para formular raciones al mínimo costo.
| Minimizar ∑ $j * Xj sujeto a: ∑ Xj ≤ CMS
∑ EMj * Xj = req_EM ∑ PBj * Xj ≥ req_PB donde: Xj = cantidad del j-esimo alimento en la dieta $j = costo por unidad del j-esimo alimento EMj = contenido del energía del j-esimo alimento PBj = contenido de proteína del j-esimo alimento CMS = máximo consumo de materia seca req_EM, req_PB = requerimiento energético y proteico respectivamente |
El objetivo del presente trabajo es presentar un modelo de programación lineal que incluya la TS forraje - suplemento en la formulación de raciones al mínimo costo para la suplemetación de rumiantes a pastoreo.
PLANTEO GENERAL DEL MODELO
En el cuadro 2 se presenta en forma de tabla el planteo genérico del modelo propuesto.
Cuadro 2: Modelo general de programación lineal para formular raciones al mínimo costo para la suplementación de rumiantes a pastoreo.
donde:
Po, Ps = cantidad consumida de pastura (dieta base) sin y con suplementación respectivamente
Xj = cantidad del j-esimo suplemento en la dieta
$P = costo por unidad de la dieta base
$j = costo por unidad del j-esimo suplemento
TS1 ... TSj = tasa de sustitución del j-esimo suplemento
EMp = contenido de energía de la dieta base
EM1 ... EMj = contenido de energía del j-esimo suplemento
PBp = contenido de proteína de la dieta base
PB1 ... PBj = contenido de proteína del j-esimo suplemento
CMS_P = consumo de la dieta base sin suplementación
Max CMS_R = máximo consumo de suplemento permitido
req_EM, req_PB = requerimiento energético y proteico respectivamente
Po, Ps = cantidad consumida de pastura (dieta base) sin y con suplementación respectivamente
Xj = cantidad del j-esimo suplemento en la dieta
$P = costo por unidad de la dieta base
$j = costo por unidad del j-esimo suplemento
TS1 ... TSj = tasa de sustitución del j-esimo suplemento
EMp = contenido de energía de la dieta base
EM1 ... EMj = contenido de energía del j-esimo suplemento
PBp = contenido de proteína de la dieta base
PB1 ... PBj = contenido de proteína del j-esimo suplemento
CMS_P = consumo de la dieta base sin suplementación
Max CMS_R = máximo consumo de suplemento permitido
req_EM, req_PB = requerimiento energético y proteico respectivamente
La primera restricción del modelo asigna el consumo exclusivamente de dieta base que tendrían los animales si no fuesen suplementados, es simplemente una restricción de anclaje en cantidad, en el modelo el consumo a pastoreo sin suplementación es una constante en las restricciones que debe ser proporcionada por el usuario. La estimación del consumo a pastoreo siempre es dificultosa dada la compleja interacción pastura - animal (9, 22), existiendo extensas revisiones sobre la estimación del consumo a pastoreo (16, 9) con una amplia variedad de métodos, técnicas y modelos (ej. 27, 28, 12, 18, 1, 3, 11, 15, 9).
La segunda restricción contempla la TS en el consumo de la dieta base, basado en el hecho que por definición:
Ps = Po - (∑TSj * Xj)
La TS es muy variable, dependiendo entre otros factores de la calidad y cantidad tanto de la dieta base como del suplemento (9, 29, 26, 22, 10). Existen diferentes procedimientos para estimarla, generalmente se la estima directamente mediante ecuaciones (4, 14, 29, 26) o por diferencia entre la estimación del consumo de pastura sin y con suplementación (12, 27, 28, 20). Recientemente se han realizado extensas revisiones (4, 20, 7) sobre el efecto de la suplementación en el consumo de forraje, la tasa de sustitución, la digestibilidad de la dieta y la performance animal.
La tercera restricción establece el máximo consumo permitido de suplemento, mientras que la cuarta y quinta restricción contemplan respectivamente los requerimientos energéticos y proteicos de los animales.
Como se puede apreciar (cuadro 2) el modelo es flexible y fácilmente modificable, pudiéndose incorporar sin muchos cambios restricciones no contempladas en el planteo general, como por ejemplo establecer un límite máximo de consumo de MS por día, máximo y mínimo consumo de un determinado suplemento, determinada relación forraje - concentrado, contenido de calcio y fósforo de la dieta, etc..
La precisión en la salida del modelo propuesto esta condicionada por la precisión con la cual se estime el consumo de pastura y la tasa de sustitución de los suplementos, los cuales a su vez varían en exactitud según el método empleado.
Los resultados de los problemas lineales presentados en este trabajo fueron obtenidos mediante el empleo de un software específico (ProLin DOS Ver. 3.3) desarrollado por uno de los autores.
EJEMPLO PRACTICO DE APLICACION DEL MODELO
Considérese el siguiente caso hipotético. Se desea formular una ración para vacas lecheras en producción (550 Kg peso vivo, producción promedio diaria 21 Kg de leche corregida al 4% de grasa) cuya dieta base es una pradera convencional de 3er año (68% digestibilidad, 18% PB, 45% FND) con un nivel de oferta forrajera diaria (NOF) por animal del 4.5% de su peso vivo, con una utilización de la pastura estimada en 65%. Según el NRC (21) los requerimientos para dicha categoría y nivel de producción son de 24.5 Mcal ENl/día y 2.5 Kg. PB/día. Se desea que el consumo de suplemento no supere el 1.5% del peso vivo (550 * 0.015 = 8.25 kg MS). En el cuadro 3 se listan los alimentos disponibles.
Cuadro 3: alimentos disponibles.
(¹) Rosso (23); (²) estimada en base a la digestibilidad según NRC (21); (³) estimada por la ecuación de Hopkins (1985, según 26).
Cuadro 3: alimentos disponibles.
(¹) Rosso (23); (²) estimada en base a la digestibilidad según NRC (21); (³) estimada por la ecuación de Hopkins (1985, según 26).
Mediante el algoritmo PIest descrito por Vazquez y Smith (28) se estimó el consumo de pastura sin suplementación en 14.7 Kg MS/día. Dicho algoritmo básicamente consiste en asignar como consumo voluntario a pastoreo al menor valor obtenido entre la estimación del consumo por llenado físico, por requerimientos energéticos y por disponibilidad de la pastura.
En los cuadros 4 y 5 se presenta el planteo y solución del problema lineal con el modelo propuesto y el tradicional respectivamente.
Cuadro 4: Planteo del problema lineal con el modelo propuesto.
Variables | Po | Ps | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | ||
Minimizar | 0 | 0.013 | 0.036 | 0.050 | 0.060 | 0.120 | 0.170 | ||
sujeto a: | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = | 14.7 kg MS |
1 | -1 | -1.09 | -1.12 | -0.72 | -0.97 | -0.63 | = | 0 | |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ≤ | 8.25 kg MS | |
0 | 1.55 | 1.47 | 1.45 | 1.77 | 1.57 | 1.84 | = | 24.5 Mcal ENl | |
0 | 0.180 | 0.200 | 0.065 | 0.088 | 0.155 | 0.160 | ≥ | 2.5 kg PB | |
Resultados | 14.700 | 12.812 | 0 | 0 | 2.622 | 0 | 0 |
Costo total de la dieta = 0.324 U$S/ animal/día
donde:
Po, Ps = pradera sin y con suplementación respectivamente
X1 ... X5 = heno de alfalfa, silo de maíz, sorgo, afrechillo de arroz y ración comercial respectivamente
Po, Ps = pradera sin y con suplementación respectivamente
X1 ... X5 = heno de alfalfa, silo de maíz, sorgo, afrechillo de arroz y ración comercial respectivamente
Cuadro 5: Planteo del problema lineal con el modelo tradicional.
Variables | Po | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | ||
Minimizar | 0.013 | 0.036 | 0.050 | 0.060 | 0.120 | 0.170 | ||
sujeto a: | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | < | 14.7 kg MS |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ≤ | 8.25 kg MS | |
1.55 | 1.47 | 1.45 | 1.77 | 1.57 | 1.84 | = | 24.5 Mcal ENl | |
0.180 | 0.200 | 0.065 | 0.088 | 0.155 | 0.160 | ≥ | 2.5 kg PB | |
Resultados | 14.700 | 1.167 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Costo total de la dieta = 0.233 U$S/ animal/día
donde:
Po = pradera sin suplementación
X1 ... X5 = heno de alfalfa, silo de maíz, sorgo, afrechillo de arroz y ración comercial respectivamente
Po = pradera sin suplementación
X1 ... X5 = heno de alfalfa, silo de maíz, sorgo, afrechillo de arroz y ración comercial respectivamente
DISCUSIÓN
Si se resuelve el ejemplo hipotético por medio del planteo propuesto y el tradicional y se comparan los resultados se puede observar que arrojan valores muy diferentes.
A pesar que matemáticamente el planteo tradicional formula una ración de menor costo (0.233 vs. 0.324 U$S/animal/día) en realidad es aparente pues lo hace a expensas del uso de suplementos sin considerar su efecto sobre el consumo de la dieta base (14.700 vs. 12.812 Kg MS), lo cual ocasiona una mayor asignación de pastura (alimento de menor costo por unidad de nutrientes) de la que podrían consumir los animales suplementados, violándose así restricciones de orden biológico que evidentemente no son consideradas por estos modelos (cuadro 1) ya que están diseñadas para formular dietas completas (5, 6, 2, 13, 8, 24, 25, 30), no tratan a la pastura como una dieta base si no como un alimento mas, cuyo consumo no se vería afectado por la ingestión de los demás alimentos.
En la figura 1 se puede apreciar como a medida que los suplementos X3 y X1 van incrementando su participación en la dieta va cambiando la relación entre el consumo de energía y el costo total. Ambos suplementos al incrementar su participación incrementan el costo total, pero por efecto de la TS mientras el suplemento X3 incrementa el consumo de energía el suplemento X1 lo disminuye.
Figura 1:Cambios en el consumo de energía y costo total de la dieta para niveles creciente de suplementación (0 a 9 Kg suplemento/animal/día)
Los modelos lineales para formular raciones al mínimo costo buscan (dentro de las restricciones impuestas) incluir en la solución aquellos alimentos que presentan el menor costo por unidad de nutriente (17). Esto es para los modelos tradicionales buscar aquellos alimentos que presenten el mayor cociente entre unidades de nutriente y costo por Kg. MS ( Nij/$j ), donde Nij/$j son las unidades del nutriente i (Ni) por unidad monetaria ($) que aporta el alimento j.
En cambio al considerarse la TS, el modelo propuesto busca aquellos alimentos que presenten el mayor cociente Δ (Nij/$j):
Ni suplemento j - (TSj * Ni pastura)
Δ (Nij/$j) = ----------------------------------------------------
$ suplemento j - (TSj * $ pastura)
donde:
Δ (Nij/$j) = unidades del nutriente i (Ni) que aporta el suplemento j por cada unidad monetaria ($).
Ni suplemento j, Ni pastura = unidades del nutriente i que aporta el suplemento j y la pastura (dieta base) respectivamente.
$ suplemento j, $ pasturas = costo por kg de MS del suplemento j y de la pastura respectivamente.
TSj = tasa de sustitución del suplemento j.
Δ (Nij/$j) = unidades del nutriente i (Ni) que aporta el suplemento j por cada unidad monetaria ($).
Ni suplemento j, Ni pastura = unidades del nutriente i que aporta el suplemento j y la pastura (dieta base) respectivamente.
$ suplemento j, $ pasturas = costo por kg de MS del suplemento j y de la pastura respectivamente.
TSj = tasa de sustitución del suplemento j.
Se puede apreciar que la pendiente de la recta en la figura 1 es equivalente al cociente Δ (Nij/$j), donde en este caso Ni representa el contenido de energía. Nótese que si no existiera sustitución (TS = 0) el cociente Δ (Nij/$j) se transformaría en el cociente explorado por los modelos tradicionales Nij/$j.
En el cuadro 6 se puede apreciar como los modelos buscan incluir en la solución aquellos alimentos que presenten el cociente empleado más favorable, para los modelos tradicionales Nij/$j y para el propuesto Δ (Nij/$j).
Cuadro 6: Comparación de los valores de los criterios de selección del modelo propuesto y tradicional respectivamente donde Ni representa el contenido de energía.
Suplemento | Δ (Nij/$j) | Nij/$j |
X1 | -10.05 | 40.83 |
X2 | -8.07 | 29.00 |
X3 | 12.91 | 29.50 |
X4 | 0.62 | 13.08 |
X5 | 5.34 | 10.82 |
Dado que en el ejemplo la única limitante es la energía el criterio de selección se basa en considerar solo el costo de este nutriente, para casos en que existan más nutrientes limitantes (conflicto entre restricciones) los modelos si bien emplean el mismo criterio de selección balancean los costos relativos por nutriente de cada alimento, para incluir en la solución aquellos que a la vez satisfagan todas las restricciones y minimicen la función objetivo.
CONCLUSION
El modelo propuesto en este trabajo es de fácil implementación e interpretación, considera la interacción biológica forraje - suplemento y cuantifica su efecto sobre el consumo de la dieta base, permitiendo al resolver el problema lineal obtener teóricamente una ración al mínimo costo adecuada para los sistemas pastoriles. No considerar la TS en la suplementación de animales a pastoreo conduce a una sobrestimación del aporte de nutrientes de la pastura a la dieta total y en consecuencia a una subestimación del costo total de la dieta.
BIBLIOGRAFIA
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Articulo publicado originalmente en: Soto Silva, C; y Reinoso Ortiz, V. (2004):”Empleo de la programación lineal en la formulación de raciones al mínimo costo para la suplementación de rumiantes a pastoreo”. Veterinaria (Montevideo), Vol. 39 (154) : 17-22.
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11 de octubre de 2011
Yo utilizo la herramienta solver en el diseño de programas de alimentacion para animales en pastoreo, estabulacion, balanceo de sales mineralizadas, la herrramienta es muy buena dependiendo de la informacion que se le introduzca, lo importante es saber plantear el ejercicio.
1 de noviembre de 2010
Hola Alvaro.
El modelo de PL que aquí se presenta nació por la dificultad en la práctica
que teniamos para balancear dietas en animales a pastoreo (lo cual ya fue mas
que explicado). Este modelo no vive en el papel, lo utilizamos frecuentemente
y con éxito en nuestra práctica diaria, ya que además de asesores somos productores ganaderos.
Sinceramente si algunos de los participantes de este foro no lograron entender
lo que es la PL y especialmente el modelo de PL presentado aquí lo lamentamos
mucho, el conocimiento de dicho método matemático depende de la formación de
cada uno y la carencia de su dominio no es culpa nuestra. La lectura de este
trabajo presupone que el lector tiene al menos un conocimiento mínimo de lo
que es la PL y lo que es y significa la sustitución de forraje por suplemento,
fenómeno este que generalmente ocurre cuando se suplementa rumiantes a pastoreo.
Este modelo fue publicado originalmente en el año 2004 en una revista científica y
desde entonces ha tenido una muy buena acogida por unos cuantos nutricionistas que dominan la PL, los cuales nos han hecho llegar sus comentarios.
No es de mi interés ni mi intención entrar en una discusión estéril sobre las
bondades de la PL, porque existe en el mundo abundante literatura científica y
experiencia práctica que han colocado a la PL en forma indiscutible como
EL MEJOR METODO MATEMATICO A NIVEL MUNDIAL PARA FORMULAR RACIONES.
Desde mi parte este va a ser el último post en el cual contesto sobre si la PL
es pura teoría o tiene aplicación práctica. Para que quede gráfico reitero lo que postee anteriormente:
hoy en dia es practicamente imposible encontrar alguna fábrica de raciones que no
emplee PL y pueda ser competitiva.
Aunque algunos no la conozcan, la PL existe y se emplea rutinariamente en todo el
mundo desde hace varias décadas y seguirá así por muchas mas porque hasta ahora no existe y no se vislumbra que aparezca en el corto-mediano plazo otro método mas
eficiente que la sustituya.
Esto no es teoría que nunca salió del papel, esto es ciencia y se aplica diariamente en la práctica con muy buenos resultados, lamento mucho si algunos
no logran enter esto.
Saludos.
Claudio Soto.
27 de octubre de 2010
Hola Ramon,
el modelo del articulo puede ser resulto con cualquier paquete informatico
comercial dedicado a resolver modelos de PL, como por ejemplo, MPL/CPLEX, LINGO,
LINDO, SOLVER, etc. La clave de este, asi como de cualquier otro modelo de PL es
armar la matriz con los coeficientes tecnicos apropiados para el caso en cuestión.
La solidez de la solución depende siempre de la calidad de los datos con los cuales
se armó la matriz y de la correcta modelización de las restricciones.
Saludos,
Claudio Soto.
26 de octubre de 2010
Hola a todos.
Quisiéramos hacer algunas puntualizaciones sobre este trabajo tratando de
brindar una respuesta general a los comentarios y mail privados recibidos
de los foristas.
En primer lugar, este artículo fue escrito para una revista científica dirigida
exclusivamente a profesionales y simplemente fue reproducido por Engormix y por otros portales. El objetivo de este trabajo fue proponer un nuevo modelo
alternativo de Programción Lineal (PL) que salvara algunos de los inconvenientes que
presentan los modelos ya existentes de PL para formular dietas al mínimo costo para
ganado a pastoreo, por lo tanto, es obvio que aquellos que no son nutricionistas
tengan dificultades en interpretarlo.
Debido a la enorme complejidad matemática de la PL sería imposible explicar en forma
breve y con palabras sencillas los principios, planteos y métodos de solución, a lo
cual se le suma la complejidad de las interacciones entre
animal-pastura-suplemento-ambiente que existen en los sistemas pastoriles.
La PL no se trata de fórmulas mágicas si no de un método científico
ampliamente utilizado en todo el mundo con diferentes propósitos, no solo en la
producción animal. Desde mediados de los años 60 la PL viene siendo utilizada en
nutrición animal y hasta entonces es considerada el mejor método matemático para
balancear dietas.
Saludan atte.
Claudio Soto
Valeria Reinoso.
26 de octubre de 2010
Hola Martín,
la interacción entre alimentos (efectos asociativos entre pastura y suplemento) es
un tema muy extenso y complejo como para tratarlo aqui en forma tan breve, te
dejo algunas citas bibliograficas sobre las ultimas revisones sobre el tema:
* Caton y Dhuyvetter (1997): Influence of energy supplementation on grazing
ruminants: Requirements and responses, J. Anim. Sci. 75:533-542.
* Moore y col. (1999): Effects of supplementation on voluntary forage intake,
diet digestibility, and animal performance. J. Anim. Sci. 77(Suppl. 2):122-135.
* Dixon y Stockdale (1999): Associative effects between forages and grains:
consequences for feed utilisation. Aust. J. Agric. Res. 50:757-773.
* Bargo y col. (2003):”Invited review: Production and Digestion of supplemented dairy cows on pasture” J. Dairy Sci. 86:1-42.
En cuanto al consumo de forraje de los animales, se puede estimar en la practica
directamente por diferencia entre la oferta y el rechazo (esto solo es practico en
condiciones de pastoreo controlado con periodos cortos de permanencia por parcela)
o a través de algun modelo de estimación del consumo en animales a pastoreo (ej.
GRAZFEED, Freer y col. 1997).
Para determinar el suplemento o la ración de menor costo, se suele hacerlo
resolviendo un modelo de Programación Lineal (PL) o sus derivados (PL entera, entera mixta, por metas, por objetivos multiples, etc.). Desde hace varios años la PL es el procedimiento matemático por excelencia a nivel mundial para formular raciones al minimo costo.En un mundo tan competitivo como el de hoy en dia, es practicamente imposible encontrar alguna fabrica de raciones que no emplee PL y pueda ser competitiva a nivel global.
Saludos.
Claudio Soto.
25 de octubre de 2010
Estimado Jon,
por favor no se sienta mal por no entender en toda la dimensión al articulo.
Este trabajo fue publicado en una revista dirigida a técnicos.
La programación lineal es una técnica matemática que ni siquiera es dominada por la mayoría de los profesionales que se dedican a actividades del agro donde puede ser empleada, por lo tanto usted no tiene porque conocerla.
Saludos,
Claudio Soto.
11 de octubre de 2011
Oscar, que posibilidad hay de que ma ayudes con la información para diseñar un programa de alimentación para vacas lecheras semiestabuladas, ya que mi problema es formular un concentrado que supla las deficiencias nutritivas del pastoreo tanto en energía y proteína, así como en macro y microminerales y vitaminas. Mi correo electrónico es: joseloyolaroman@hotmail.com
11 de octubre de 2011
claudio lo impòrtente seria subir la hoja de exel en la cual desarrollaron el programa y no olvidar que lo mas importante es aprender a manejar la opcion solver es mucho mas practico.
10 de octubre de 2011
Señor Älvaro Tirado, coincido con usted en sus opiniones. La información debe llegar al productor de forma tal que pueda aplicarla. Al final es quien produce lo que la humanidad demanda crecientemente. Si bien es cierto que los trabajos científicos también se realizan para personal capacitado, que puede ampliar sus conocimientos, sacar conclusiones y de ahí las sugerencias al que produce, también es cierto, que aunque difícil, no es imposible intentar llegar al lenguaje del productor, aunque sea en unas sencillas conclusiones. Mis respetos a los autores y mi exortación a continuar informándonos.
21 de septiembre de 2011
QUIZÁ NO LE VEN LA APLICACIÓN DIRECTA, SIN EMBARGO EL MÉTODO ES GENÉRICO Y NO SÓLO APLICA PARA LA ALIMENTACIÓN DE BOVINOS, SE PUEDE APLICAR PARA DIFERENTES ESPECIES, LO ÚNICO QUE CAMBIA SON LAS RESTRICCIONES Y LOS REQUERIMIENTOS SEGÚN ESPECIE, PERO PRECISAMENTE PARA ESO SON LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL, UNA EXTENSIÓN PRÁCTICA DE LA RESOLUCIÓN DE MULTIPLES ECUACIONES CON MULTIPLES INCOGNITAS.
MUY BUENO EL APORTE.
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