El problema de la dieta. Aplicaciónes de programacion lineal en la crianza animal

Desde un punto de vista económico, la programación lineal es tal vez el avance matemático más importante del siglo XX.

Si preguntas  algo como: ¿Que invención  de la segunda guerra mundial permite el balanceo de una dieta animal  ... Posiblemente  te pase por la mente  escenas de la serie de  televisión combate o de la película la lista de schindler .Y luego quedes confundido  .Pero en 1947 George B. Dantzig propone un modelo matemático para optimizar el entrenamiento, abastecimiento logístico y movimiento de tropas en la Fuerza Aérea de los EEUU.  Reemplazando  el uso de reglas empíricas subjetivas por desigualdades lineales y una función objetivo.

Desarrolla luego un método de solución: El algoritmo del simplex.

                         George B. Dantzig  (1914 - 2005)

Un problema de programación lineal es un problema de optimización donde:  Se pretende maximizar o minimizar (Mínimo costo o máximo beneficio  por ejemplo.).

 A este punto es difícil entender  que es  el simplex y como funciona. Pero veamos  el primer problema  de la dieta  planteado  por  el matemático Stigler:

 

Objetivo:
Encontrar la combinación de alimentos de costo mínimo que permita satisfacer nueve requerimientos nutricionales básicos de una persona de peso promedio.

Motivación:
Reducir costos en el abastecimiento de tropas.

Función objetivo :

min. x1 + x2  (Buscar el mínimo costo  al combinar cantidades x de alimento  por su costo unitario) 

 

Restricciones :

2x1 + x2 ≥ 3 (Requerimiento mínimo  de proteína)

x1 + 2x2 ≥ 3 (Requerimiento mínimo de carbohidratos)

x1 ≥ 0 (cantidad mínima de papas  en la dieta)

x2 ≥ 0 (Cantidad mínima de fréjoles en la dieta)

En su intento por resolverlo, Stigler obtiene una de las primeras formulaciones de programación lineal : con 77 variables y 9 restricciones. Encuentra una solución por métodos heurísticos: $39.93  en  1939.

Algunos  años  despuésLaderman en 1947 usó el simplex para encontrar la solución óptima siendo  el primer  cálculo a gran escala que preciso de 120 días-hombre empleando 10 calculadores de escritorio manuales con  $39.69  sólo 24 ctvs. más barato que Stigler.

Claro el avance de la computación  hace de estas experiencias simplemente  anecdóticas. Pero la idea  básica es la misma .Ahora veamos  un ejemplo  donde la programación lineal   cobra importancia .

El Crecimiento De Los Pollos Depende De Una Sólida Alimentación Que Cumpla  Los Requerimientos Nutritivos De Los Mismos .Este ejemplo  desarrolla  un balanceo  simple de dos alimentos  con restricciones  de energía , proteína y metionina..

Tomemos en cuenta que el método de cuadrado pearson  no puede dar una solución  con más de un requerimiento y tampoco  asegura  una respuesta mínima en función al costo.

 El cuadro 1 muestra las exigencias  nutricionales mínimas  de pollos   de cría (1 a 21 días ) .

Para producir la ración balanceada se usara  maíz y  soya .El cuadro 2 muestra  la composición nutritiva de estos dos insumos .Y el cuadro 3  presenta el precio por Kg. . de cada uno .

Ahora  modelemos el problema  diciendo que : x,y son Kg. . de alimento , el cual claro debe ser mayor igual  a 0 (Puede ser que solo uno de ellos cumpla los requerimientos que buscamos).

El objetivo es minimizar el costo de la ración y diremos que la función costo seria : costo = (precio del insumo x * cantidad de x ) + ( precio del insumo y * cantidad del insumo y) .

Como deseamos minimizar  escribamos esto :

A esto le llamaremos  función objetivo (mínimo costo de dieta).

Pues bien formulemos unas restricciones :

Figura 1 Debe haber en dieta  una cantidad mayor igual a 3050 Kcal./Kg.  de energía  con el aporte energético  de los insumos   en cantidades x ,y.

Figura 2 Sumaremos otra restricción , La proteína  debe ser mayor igual 22 % .

Figura 3  Ahora para concluir   la metionina  debe ser mayor igual a 14 mg/ Kg.

Figura 4  La región factible  es nada mas que  un área geométrica   delimitada por los signos  mayor igual y  nuestras restricciones .Aquí es donde  existe la posibilidad de hallar una solución donde se satisfagan todas las restricciones . según los postulados de  G.danzit   la solución se encuentra donde se cruzan dos líneas o en toda la frontera  de la zona factible  .

Bueno como revisar proyecciones  de gradientes  con matemática vectorial es muy complejo  identifiquemos los puntos de  intersección :

Por lo tanto el costo mínimo  se encontraría en la formulación de :444grs. de maíz  y 653grs. de soya, con un costo de 0.22.

El ejemplo  explica  la mecánica del  método grafico  en programación lineal .Pero  al aumentar las restricciones e insumos de la dieta  es necesario el uso de hojas de calculo como : Office Excel o Calc OpenOffice ( versión de uso libre de office ), las cuales poseen un complemento de programación de macros llamada  Solver en el cual se pueden desarrollar modelos  como el problema de la dieta .

Solver en Office Excel          

Es recomendable familiarizarse  con el uso y la instalación de  estos complementos , recordar que se debe escribir una restricción de no nulidad , que el problema de la dieta es lineal y no nesecita del algoritmo del elipsoide y que la hoja de calculo Calc OpenOffice tiene habilitado el complemento solver en versiones 3.0 y portables aunque estas en su mayoría se encuentran en ingles.Pero es una alternativa versátil , ligera y multi plataforma al office  Windows.